Kovarianz verstehen und berechnen

Die Kovarianz gibt dir Auskunft über den Zusammenhang von zwei metrischen Variablen.

Dabei ist es wichtig, zu beachten, dass die Kovarianz ein nichtstandardisiertes Zusammenhangsmaß ist und damit nur begrenzt vergleichbar.

Andere Bezeichnungen für die Kovarianz sind Stichprobenkovarianz oder empirische Kovarianz.

Die Berechnung der Kovarianz am Beispiel erklärt

Nehmen wir an, wir haben acht Personen nach der Entfernung zwischen ihrem Wohn- und Arbeitsort und der Dauer ihres Arbeitsweges gefragt und folgende Daten erhalten:

Person12345678
Entfernung Wohnort und Arbeitsplatz in km18242142235458
Dauer des Arbeitsweges in min2210533025364513

Nun möchten wir den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen bestimmen und berechnen dazu die Kovarianz.

Als Ergebnis erhalten wir eine Kovarianz von 222.93, was bedeutet, dass ein positiver Zusammenhang zwischen den beiden Variablen ‚Entfernung‘ und ‚Dauer‘ besteht.

Beachte
Die Kovarianz gibt uns primär Auskunft über die Richtung des Zusammenhangs. Wenn wir Aussagen über die Stärke des Zusammenhangs treffen und vergleichen wollen, dann müssen wir die Kovarianz zunächst in einen Korrelationskoeffizienten umwandeln.

Die Tabelle gibt dir einen Überblick über die einzelnen Schritte zur Berechnung der Kovarianz.

Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Berechnung der Kovarianz

AllgemeinBeispiel
1Bestimme das arithmetische Mittel für jede der Variablen.1. Entfernung Wohnort zum Arbeitsplatz (x)
kovarianz-beispiel-berechnung-scribbr
2. Dauer des Arbeitswegs (y)
kovarianz-beispiel-berechnung-scribbr
2Berechne die Abweichungen der einzelnen Beobachtungsdaten vom arithmetischen Mittel, z. B.kovarianz-abweichung-berechnen-x-scribbr und kovarianz-abweichung-berechnen-y-scribbr.
Personkovarianz-abweichung-berechnen-x-scribbrkovarianz-abweichung-berechnen-y-scribbr
1-5.25-7.25
2-21.25-19.25
318.7523.75
4-9.250.75
5-1.25-4.25
611.756.75
721.7515.75
8-15.25-16.25
3Bilde das Produkt der Abweichungen.

Rechne also: kovarianz-abweichung-produkt-berechnen-scribbr

Wir multiplizieren das Ergebnis aus der mittleren Spalte aus Schritt 2 mit dem Ergebnis aus der rechten Spalte.

138.0655.31
2409.06679.31
3445.317342.56
4-6.948247.81
4Bilde die Summe aller Produkte aus Schritt 3.Wir addieren alle Ergebnisse aus Schritt 3:

38.06 + 409.06 + 445.31 + (-6.94) + 5.31 + 79.31 + 342.56 + 247.81 = 1560.48

5Multipliziere das Ergebnis aus Schritt 4 mit kovarianz-berechnen-scribbr.Das Ergebnis ist die Kovarianz.kovarianz-berechnen-scribbr

Die Kovarianz beträgt 222.93.

Formel zur Kovarianz

Die Formel stellt die oben erläuterten Schritte zur Berechnung der Kovarianz zusammengefasst dar.

kovarianz-formel-scribbr
sxyKovarianz der Variablen x und y
nGesamtanzahl der Beobachtungen
xiBeobachtungswert der Variable x
arithmetisches Mittel der Variable x
yiBeobachtungswert der Variable y
y-bar-scribbrarithmetisches Mittel der Variable y

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Interpretation der Kovarianz

Ein positiver Wert der Kovarianz sagt dir, dass wenn die eine Variable steigt, dies auch für die andere der Fall ist. Gleichermaßen zeigt ein negatives Vorzeichen, dass wenn die eine Variable steigt, die andere sinkt.

In dem Beispiel zur Entfernung zwischen Wohn- und Arbeitsort und zur Dauer des Arbeitsweges beträgt die Kovarianz 222.93.

Dieses Ergebnis zeigt uns, dass ein positiver Zusammenhang besteht. Wenn also die Variable ‚Entfernung‘ steigt, ist dies auch für die Variable ‚Dauer‘ der Fall.

Genauso bedeutet ein Anstieg der Variable ‚Dauer‘ ebenfalls einen Anstieg der Variable ‚Entfernung‘.

Von der Kovarianz zur Korrelation

Da die Kovarianz eine nichtstandardisierte Kennzahl ist, ist die Vergleichbarkeit gering. Um konkrete Schlüsse und Vergleiche zu ziehen, können wir die Kovarianz in einen Korrelationskoeffizienten umwandeln.

Dazu verwenden wir die folgende Formel:

korrelation-formel-scribbr
sxyKovarianz der Variablen x und y
sxStandardabweichung der Variable x
syStandardabweichung der Variable y
rKorrelationskoeffizient (nach Bravais)
Merke
Der Korrelationskoeffizient gibt die standardisierte Kovarianz an.

Beispielrechnung von der Kovarianz zur Korrelation

In unserem Beispiel haben wir eine Kovarianz von 222.93 berechnet und können außerdem über die Formel der Standardabweichung folgende Werte bestimmen:
sx = 15.86
sy = 14.95

Diese setzen wir in die Formel ein, um aus der Kovarianz den Korrelationskoeffizienten zu erhalten:
korrelation-berechnen-beispiel-scribbr
Die Korrelation zwischen den beiden Variablen ‚Entfernung‘ und ‚Dauer‘ beträgt 0.94. Da es sich bei der Korrelation um einen standardisierten Wert handelt, können wir nun unser Ergebnis mit anderen Korrelationen vergleichen.

Kovarianz in Excel bestimmen

In Excel können wir die Kovarianz zweier Variablen mithilfe der Funktion KOVARIANZ bestimmen.

Schreibe dazu =KOVARIANZ oder =COVARIANCE und gib in den Klammern die Zellen mit den Werten an, für die du die Varianz bestimmen willst.

Da wir in unserem Beispiel die Kovarianz für die Variablen ‚Dauer‘ und ‚Entfernung‘ bestimmen wollen, fügen wir C3:J3;C4:J4 in den Klammern ein. Als Ergebnis wird uns die Kovarianz von 222.93 angezeigt.
korrelation-berechnen-excel-beispiel-scribbr

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Kovarianz?

Die Kovarianz gibt dir Auskunft über den Zusammenhang von zwei metrischen Variablen.

Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?

Die Kovarianz ist ein nichtstandardisiertes Zusammenhangsmaß und hat daher nur eine geringe Vergleichbarkeit. Wir können aus der Kovarianz die Korrelation bestimmen. Diese ist standardisiert und lässt daher eine höhere Vergleichbarkeit zu.

Wie berechne ich aus der Kovarianz die Korrelation?

Zur Berechnung der Korrelation aus der Kovarianz kannst du folgende Formel verwenden: korrelation-formel-scribbr.

Du teilst also die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen der einzelnen Variablen.

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Valerie Benning

Hi, ich bin Valerie und schreibe zur Zeit selbst meine Masterarbeit in Psychologie. Meine Erfahrungen aus dem Studium teile ich gerne, damit Studierenden statistische Themen leichter fallen. Hast du Fragen? Dann schreibe gerne einen Kommentar unter einen der Artikel.

1 Kommentar

Valerie Benning
Valerie Benning (Scribbr-Team)
28. Mai 2020 um 19:30

Danke fürs Lesen! Ich hoffe dieser Artikel hat dir weitergeholfen. Hast du noch eine Frage? Hinterlasse einen Kommentar und ich werde mich so schnell wie möglich bei dir zurückmelden.

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