Normalverteilung verstehen und interpretieren

Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.

Andere Bezeichnungen für die Normalverteilung sind Gauß-Verteilung (nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß) und aufgrund des Verlaufs des Graphen auch Glockenkurve.

In der Abbildung kannst du am glockenförmigen Verlauf der roten Linie direkt sehen, woher dieser Name stammt.
normalverteilung

Beispiel zur Normalverteilung

Eine Normalverteilung liegt immer dann vor, wenn wir eine große Stichprobe, also viele Beobachtungsdaten haben, wie zum Beispiel bei der Verteilung der Körpergröße in einer Stadt.

Nehmen wir an, wir haben zufällig 5000 Bewohner einer Stadt ausgewählt und ihre Körpergröße gemessen.

Das Säulendiagramm zeigt die Verteilung der Körpergrößen. Auf der horizontalen Achse (x-Achse) sehen wir die Körpergrößen der Bewohner und auf der waagerechten Achse (y-Achse), wie häufig diese in der Stichprobe vorkommen.
normalverteilung
Wir können bereits an dem Diagramm ablesen, dass die meisten Menschen in der Stadt etwa 1.80 m groß sind.

Je kleiner die Säulen sind, desto seltener kommt die dazugehörige Körpergröße vor. So sehen wir auch auf den ersten Blick, dass sehr wenige Bewohner kleiner als 1.60 m oder größer als 2.00 m sind.

Beachte
Da es sich bei der Normalverteilung um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, können die Werte auf der x-Achse alle reellen Zahlen annehmen. Für unser Beispiel bedeutet dies, dass alle Körpergrößen (theoretisch) möglich sind.

Außerdem sind die Daten symmetrisch um den Mittelwert verteilt, d. h. eine Hälfte der Bewohner ist kleiner als 1.80 m und die andere größer.

Der Graph der Normalverteilung

Der Graph der Funktion der Normalverteilung ist die rote Linie in der Abbildung oben und zeigt die Verteilung der Daten um den Mittelwert, in unserem Beispiel also um die mittlere Körpergröße von 1.80 m.

Um den Graphen der Normalverteilung zu verstehen, sind zwei Parameter relevant:

  • der Erwartungswert (μ), dies ist auch der Mittelwert
  • die Standardabweichung um den Mittelwert (σ)

normalverteilung
Der Graph der Normalverteilung zeigt, dass …

  • 68,27 % aller Werte im Intervall von einer Standardabweichung,
  • 95,45 % aller Werte im Intervall von zwei Standardabweichungen,
  • 99,73 % aller Werte im Intervall von drei Standardabweichungen

… um den Erwartungswert liegen.

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Interpretationen der Normalverteilung am Beispiel erklärt

Wert Interpretation Beispiel
μ Mittelwert (Erwartungswert) Die durchschnittliche Körpergröße in der Stadt beträgt 1.80 m.
σ Standardabweichung Die Standardabweichung der Körpergröße in der Stadt beträgt 10 cm.
μ – σ 34.1 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung unterhalb des Erwartungswerts Die Körpergröße von 34.1 % der Bewohner liegt zwischen 1.70 m und 1.80 m.
μ + σ 34.1 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung oberhalb des Erwartungswerts Die Körpergröße von 34.1 % der Bewohner liegt zwischen 1.80 m und 1.90 m.
μ – 2σ 47.7 % der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen unterhalb des Erwartungswerts Die Körpergröße von 47.7 % der Bewohner liegt zwischen 1.60 m und 1.80 m.
μ +2σ 47.7 % der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen oberhalb des Erwartungswerts Die Körpergröße von 47.7 % der Bewohner liegt zwischen 1.80 m und 2.00 m.
μ – 3σ 49.85 % der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen unterhalb des Erwartungswerts. Die Körpergröße von 49.85 % der Bewohner liegt zwischen 1.50 m und 1.80 m.
μ + 3σ 49.85 % der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen oberhalb des Erwartungswerts. Die Körpergröße von 49.85 % der Bewohner liegt zwischen 1.80 m und 2.10 m.

Verlauf des Graphen

Der Verlauf des Graphen der Normalverteilung kann unterschiedlich aussehen, je nachdem, welche Werte für den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ vorliegen.

In der Abbildung siehst du verschiedene Beispielgraphen.

Der rote Graph ist der Graph der Standardnormalverteilung. Diese liegt vor, wenn wir einen Mittelwert von μ = 0 und eine Standardabweichung von σ = 1 haben.
normalverteilung

Graph in Abbildung Vergleich zur Standardnormalverteilung
Rot (μ = 0, σ = 1) Standardnormalverteilung
Gelb (μ = 0, σ = 0.5) gestreckt, da σ < 1 ist.
Blau (μ = 0, σ = 3) gestaucht, da σ > 1 ist.
Grün (μ = 2, σ = 1) um 2 Einheiten nach rechts verschoben, da μ > 0.

Der Mittelwert (μ) kennzeichnet, bei welchem x-Wert der höchste Punkt des Graphen liegt.

Ist der Mittelwert größer als 0, verschiebt sich der Graph nach rechts vom roten Graphen der Standardnormalverteilung. Bei einem Mittelwert kleiner als 0 verschiebt sich der Graph nach links.

Die Standardabweichung (σ) bestimmt, ob der Graph gestaucht oder gestreckt ist. Eine Stauchung bedeutet, dass der rote Graph breiter aussieht als der Graph der Standardnormalverteilung.

Eine Streckung bedeutet, dass der Graph schmaler aussieht im Vergleich zum roten Graphen der Standardnormalverteilung.

Funktion und Parameter der Normalverteilung

Die Funktion der Normalverteilung kannst du zum Beispiel verwenden, um den Graphen deiner Verteilung zu bestimmen.

Dazu kannst du einfach deine Werte für den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ in die Formel einsetzen.

Die Funktion der Normalverteilung
normalverteilung funktion
x Zufallsvariable
μ
  • Erwartungswert
  • Mittelwert und Median
  • μ ∈ ℝ, d.h. μ muss eine reelle Zahl sein
  • Maximum des Graphen
σ2
  • Varianz
  • √ σ2 = σ, die Standardabweichung
  • σ2 > 0, d. h. die Varianz muss größer als 0 sein
  • bestimmt die Form des Graphen (Streckung oder Stauchung)

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Normalverteilung und Gauß-Verteilung?

Es gibt keinen: Gauß-Verteilung ist lediglich eine andere Bezeichnung für die Normalverteilung. Das Gleiche gilt auch für die Bezeichnung Glockenkurve.

Wofür wird die Normalverteilung verwendet?

Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.

Der Graph der Normalverteilung zeigt die Verteilung der Daten um den Mittelwert.

Sieht der Graph der Normalverteilung immer gleich aus?

Nein, der Verlauf des Graphen der Normalverteilung hängt von den Werten für den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ ab. Der Graph kann gestreckt oder gestaucht sowie nach rechts oder links verschoben sein.

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Valerie Benning

Hi, ich bin Valerie und schreibe zur Zeit selbst meine Masterarbeit in Psychologie. Meine Erfahrungen aus dem Studium teile ich gerne, damit Studierenden statistische Themen leichter fallen. Hast du Fragen? Dann schreibe gerne einen Kommentar unter einen der Artikel.

2 Kommentare

Manuela
15. Juni 2020 um 21:03

Hallo Valerie,

vielen Dank für deinen Artikel! Ich studiere selbst gerade Wirtschaftspsychologie im Master. Für eine Hausarbeit ist ein Bewertungskriterium die Prüfung der Normalverteilungsannahme. Kannst du erklären, wie sich diese auf statistische Verfahren wie z.B. die Korrelation auswirkt?

DANKE & Grüße

Manu

Antworten

Mandy Theel
Mandy Theel (Scribbr-Team)
18. Juni 2020 um 14:21

Hi Manu,
vielen Dank für deine Frage. Je nachdem wie das Ergebnis des Tests auf Normalverteilung ausfällt, verwendest du verschiedene Korrelationskoeffizienten. Pearsons r setzt zum Beispiel eine Normalverteilung der Daten voraus. Sollten deine Daten nicht normalverteilt sein, kannst du den Korrelationskoeffizienten nach Spearman verwenden. Viel Erfolg weiterhin bei deiner Hausarbeit!

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