Standardnormalverteilung verstehen, berechnen und interpretieren

Die Standardnormalverteilung ist eine besondere Form der Normalverteilung und wird daher ebenfalls verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.

Eine Standardnormalverteilung liegt immer dann vor, wenn wir eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von μ = 0 und einer Standardabweichung von σ = 1 haben.

Hier siehst du den Graphen zur Standardnormalverteilung. Wir können direkt den Mittelwert von μ = 0 erkennen.
standardnormalverteilung

Von der Normalverteilung zur Standardnormalverteilung

Bei Normalverteilungen können sich die Werte für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ je nach Kontext unterscheiden. Daher gibt es unendlich viele mögliche Normalverteilungen.

Um mit den Daten weiterarbeiten zu können, müssen wir zunächst unsere Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformieren.

Dies ist mit jeder Normalverteilung möglich und wird auch Standardisierung genannt, denn wir berechnen aus unseren Daten einen standardisierten z-Wert.

Die Standardisierung ist notwendig, damit wir anschließend die Tabelle der Standardnormalverteilung verwenden können. In dieser können wir anhand des z-Werts die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert in dem Datensatz ablesen.

Formel zur Standardisierung
standardnormalverteilung-formel
zstandardnormalverteilte Zufallsvariable z
XZufallsvariable
μErwartungswert
σStandardabweichung

Bei der Standardisierung entnehmen wir den Einfluss der Lage (Mittelwert) und der Verteilung (Standardabweichung) der ursprünglichen Verteilung.

Was das genau bedeutet, zeigen die beiden Abbildungen.
standardnormalverteilung
Links sehen wir die ursprüngliche Verteilung in unserem Datensatz mit einem Mittelwert von μ = 180 cm und einer Standardabweichung von σ = 10 cm.

Der rechte Graph gehört zur Standardnormalverteilung und hat einen Mittelwert von μ = 0 und eine Standardabweichung von σ = 1. Wir sehen, dass die Einheit (Zentimeter) und die ursprünglich gemessenen Körpergrößen nun keinen Einfluss mehr auf den Verlauf des Graphen haben.

Transformation in die Standardnormalverteilung am Beispiel erklärt

Wir haben die Körpergröße von 5000 zufällig ausgewählten Personen in einer Stadt gemessen und berechnet, dass der Mittelwert bei μ = 1.80 m und die Standardabweichung bei σ = 10 cm liegt.

Nun wollen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass eine Person in der Stadt kleiner als zwei Meter groß ist.

Dies können wir auch schreiben als: P(x < 200). Dabei steht x für unseren gesuchten Wert und P für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser zutrifft.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit müssen wir zunächst die ursprüngliche Verteilung in die Standardnormalverteilung transformieren.

Dazu verwenden wir die folgenden 5 Schritte zur Standardisierung.

Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Standardisierung

AllgemeinBeispiel
1Schaue zunächst, welche Daten du vorliegen hast. Solltest du die Varianz σ² gegeben haben, gilt auch hier wieder, die Wurzel zu ziehen, um die Standardabweichung σ zu erhalten.

Achte auch darauf, dass alle Parameter die gleiche Einheit haben.

σ² = 100
σ = 10
μ = 1.80 m = 180 cm
(Alternativ kannst du natürlich auch σ = 10 cm in σ =  0.1 m umrechnen.)
2Setze die Werte in standardnormalverteilung-formel ein.standardnormalverteilung-formel= (200 – 185)10 = 1.5
3Für den z-Wert aus Schritt 2 kannst du nun in der Tabelle der Standardnormalverteilung die zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen. Die Tabelle findest du am Ende dieses Artikels.Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass z = 1.5 = 0.9332.
4Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen indem du den Wert aus Schritt 3 mit 100 multiplizierst.0.9332 * 100 = 93.32 %
5Als letzten Schritt kannst du das Ergebnis formulieren.Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person kleiner als 2.00 m groß ist, beträgt 93.32 %.

Beispielrechnungen mit Lösung

Für die Beispiele schauen wir uns weiterhin die Verteilung der Körpergröße in der Stadt an.

Zur Erinnerung:

  • Standardabweichung σ= 10 cm
  • Erwartungswert μ = 1.8m = 180 cm
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person in der Stadt größer als 2.00 m?
Schritt 1: Parameter vorbereiten. σ = 10 cm; μ = 180 cm; X = 200 cm

Gesucht: P(x > 200)

Schritt 2: Werte in standardnormalverteilung-formel einsetzen.

standardnormalverteilung-formel = (200 – 180)10 = 2.00
Schritt 3: z-Wert aus Schritt 2 in Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen.

Z = 2.00 = 0.9772

Schritt 4: Wahrscheinlichkeit berechnen. Da wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Person größer als 2.00m ist, müssen wir rechnen: P = 1 – 0.9772 = 0.0228.

P = (1– 0.9772) * 100 = 2.28 %

Schritt 5: Ergebnis formulieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person größer als 2 m ist, beträgt 2.28 %.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person in der Stadt größer als 1.93 m, aber höchstens 2.00 m groß?
Schritt 1: Parameter vorbereiten.

σ = 10 cm

μ = 1.80 m = 180 cm

X1 = 193 cm, X2 = 200 cm

Gesucht: P(193 < x ≤ 200)

Schritt 2: Werte in standardnormalverteilung-formel einsetzen.

standardnormalverteilung-formel = (193 – 180)10 = 1.30
standardnormalverteilung-formel = (200 – 180)10 = 2.00
Schritt 3: z-Wert aus Schritt 2 in der Tabelle der Standardnormalverteilung nachschlagen. Da wir nun zwei Wahrscheinlichkeiten gegeben haben, müssen wir diese anschließend subtrahieren.

Z = 2.00 = 0.9772
Z = 1.30 = 0.9032
Z = 0.9772 – 0.9032 = 0.074

Schritt 4: Wahrscheinlichkeit berechnen. P = 0.074 * 100 = 7.74 %
Schritt 5: Ergebnis formulieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person größer ist als 1.93 m, aber höchstens 2.00 m groß ist, beträgt 7.74 %.

Tabelle der Standardnormalverteilung richtig lesen

Wenn du deine Daten standardisiert und den z-Wert bestimmt hast, kannst du in der Tabelle die zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen.

Beachte
Vielleicht hast du die Tabelle schon einmal in deinem Statistikbuch oder in der Vorlesung gesehen. Die Werte in der Tabelle sind in jeder Tabelle zur Standardnormalverteilung identisch.

Beim Lesen der Tabelle ist es wichtig zu beachten, dass die ersten zwei Ziffern in der ersten Spalte und die zweite Nachkommastelle in der ersten Zeile dargestellt sind.

Beispiel zur Tabelle der Standardnormalverteilung

Nehmen wir an, wir haben einen z-Wert von 1.26 berechnet. Wir suchen also nach 1.2 in der ersten Spalte an der linken Seite und nach 0.06 in der ersten Zeile und erhalten eine Wahrscheinlichkeit von 0.8962 = 89.62 %. Dieses Beispiel ist in der Tabelle unten rot markiert.

standardnormalverteilung

Beispieltabelle vergrößern

Wichtige z-Werte

Solltest du die Standardnormalverteilung öfter verwenden, merkst du schnell, dass einige z-Werte sehr häufig vorkommen.

So markieren z = 1.96 und z = –1.96 jeweils die 2,5-Prozent-Grenze der Verteilung, das heißt nur 5 % der Daten liegen außerhalb dieses Intervalls.

Folglich können wir also auch sagen, dass 95% aller Werte innerhalb dieses Intervalls liegen.

Außerdem liegen 99% aller z-Werte im Intervall von z = 2.58 und z = –2.58 und 99.9 % aller z-Werte liegen im Intervall von z = 3.29 und z = –3.29.

Diese Werte sind besonders beim Testen von Hypothesen wichtig, da sie häufig als Signifikanzniveau verwendet werden.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Normalverteilung und Standardnormalverteilung?

Die Standardnormalverteilung ist eine besondere Form der Normalverteilung und liegt dann vor, wenn wir eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von μ = 0 und einer Standardabweichung von σ = 1 haben.

Was ist die Standardisierung?

Bei der Standardisierung wird eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung umgewandelt. Dabei berechnen wir aus unseren Daten einen z-Wert und können anschließend die Tabelle der Standardnormalverteilung verwenden.

Wie lese ich die Tabelle zur Standardnormalverteilung?

In der Tabelle der Standardnormalverteilung sind die ersten zwei Ziffern des z-Werts in der ersten Spalte und die zweite Nachkommastelle in der ersten Zeile dargestellt.

Hast du zum Beispiel einen Wert von z = 1.26, dann suche zunächst nach 1.2 in der ersten Spalte an der linken Seite und nach 0.06 in der ersten Zeile.

Du erhältst eine Wahrscheinlichkeit von 0.8962 (= 89.62 %).

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Valerie Benning

Hi, ich bin Valerie und schreibe zur Zeit selbst meine Masterarbeit in Psychologie. Meine Erfahrungen aus dem Studium teile ich gerne, damit Studierenden statistische Themen leichter fallen. Hast du Fragen? Dann schreibe gerne einen Kommentar unter einen der Artikel.

1 Kommentar

Valerie Benning
Valerie Benning (Scribbr-Team)
19. Februar 2020 um 16:58

Danke fürs Lesen! Ich hoffe dieser Artikel hat dir weitergeholfen. Hast du noch eine Frage? Hinterlasse einen Kommentar und ich werde mich so schnell wie möglich bei dir zurückmelden.

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